Цель урока: научиться находить эти значения для любого угла от 0° до 180°, а не только для острого.
sin α = ac cos α = bc
tg α = ab ctg α = ba
Проблема: в треугольнике не бывает угла 90° и больше. А в задачах тупые углы встречаются постоянно. Нужно определение пошире.
Радиус 1, верхняя половина. Угол α откладываем от луча Ox против часовой стрелки, вторая сторона пересекает полуокружность в точке M(x; y).
sin α = y cos α = x
tg α = yx ctg α = xy
Координаты точки — вот и все четыре величины.
Для острого угла получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 1:
sin α = y1 = y · cos α = x1 = x
То же самое, что и раньше. Новое определение просто работает ещё и для прямого и тупого угла.
Точка M всегда в верхней полуплоскости, поэтому y ≥ 0 — синус неотрицателен на всём промежутке. А абсцисса x при переходе через 90° меняет знак с плюса на минус.
| угол | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| 0° < α < 90° | + | + | + | + |
| 90° < α < 180° | + | − | − | − |
Если в ответе для тупого угла косинус получился положительным — ошибка уже сделана, дальше можно не считать.
| α | x | y |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 90° | 0 | 1 |
| 180° | −1 | 0 |
Это просто координаты трёх точек полуокружности: правый конец, верх, левый конец.
tg α = y/x не существует при x = 0 → tg 90°
ctg α = x/y не существует при y = 0 → ctg 0° и ctg 180°
Ноль в знаменателе — это «не существует», а не «равно нулю». Частая ошибка в контрольных.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 0,5 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 0,5 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 0,5 | 0 | −0,5 | −√2/2 | −√3/2 | −1 |
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — | −√3 | −1 | −√3/3 | 0 |
| ctg | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 | −√3/3 | −1 | −√3 | — |
Правая половина таблицы получается из левой по формулам приведения — запоминать её отдельно не нужно.
Точки симметричны относительно оси Oy: ордината та же, абсцисса меняет знак.
sin(180° − α) = sin α
cos(180° − α) = −cos α
tg(180° − α) = −tg α
ctg(180° − α) = −ctg α
Синус не меняется, остальные три меняют знак — потому что все они содержат x.
sin²α + cos²α = 1
tg α = sin αcos α
ctg α = cos αsin α
tg α · ctg α = 1
Из тождества всегда получаются два знака корня. Нужный выбирается по условию про угол — это отдельный шаг решения, а не мелочь.
Синус остался положительным, косинус сменил знак — вот и вся разница между острым и тупым углом.
Проверка: tg α · ctg α = (−4/3)·(−0,75) = 1. Сходится.
sin α = y, cos α = x
tg α = y/x, ctg α = x/y
sin α ≥ 0 всегда.
При 90° < α < 180° cos, tg, ctg — отрицательные.
sin(180°−α) = sin α
cos(180°−α) = −cos α
tg(180°−α) = −tg α
ctg(180°−α) = −ctg α
Не существуют: tg 90°, ctg 0°, ctg 180°.
Порядок работы с тупым углом: записать как 180° − острый → применить формулу приведения → взять значение по таблице → поставить знак.
Файл «Синус, косинус, тангенс, котангенс — 9 класс»: теория, 4 разобранных примера, шпаргалка на печать и 12 задач с проверкой ответа.
Решаешь → вводишь ответы → фотографируешь тетрадь → скачиваешь отчёт → присылаешь мне.
Подсказки в файле открываются по кнопке и ошибкой не считаются.