Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

Геометрия, 9 класс · домашнее задание · 12 задач

Имя и фамилия

Как работать: прочитай теорию, разбери примеры, реши задачи. У каждой задачи есть подсказки — открывай их, если застрял, это не считается ошибкой. В конце сфотографируй решения в тетради, нажми «Скачать отчёт» и пришли файл преподавателю.

Теория

1. Единичная полуокружность

Строим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, верхнюю (y ≥ 0). Угол α откладываем от положительного луча Ox против часовой стрелки. Второй стороне угла соответствует точка M(x; y) на полуокружности. Тогда по определению:

sin α = y · cos α = x · tg α = yx · ctg α = xy

Для острого угла это то же самое, что и в прямоугольном треугольнике: синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему.

2. Знаки

Точка M всегда в верхней полуплоскости, значит y ≥ 0 и синус никогда не отрицателен. А x меняет знак при переходе через 90°.

угол	sin	cos	tg	ctg
0° < α < 90°	+	+	+	+
α = 90°	1	0	не сущ.	0
90° < α < 180°	+	−	−	−

Не существуют: tg 90° (в знаменателе x = 0), ctg 0° и ctg 180° (в знаменателе y = 0).

3. Таблица значений

α	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sin	0	0,5	√2/2	√3/2	1	√3/2	√2/2	0,5	0
cos	1	√3/2	√2/2	0,5	0	−0,5	−√2/2	−√3/2	−1
tg	0	√3/3	1	√3	—	−√3	−1	−√3/3	0
ctg	—	√3	1	√3/3	0	−√3/3	−1	−√3	—

4. Формулы приведения для 180° − α

sin(180° − α) = sin α · cos(180° − α) = −cos α
tg(180° − α) = −tg α · ctg(180° − α) = −ctg α

Это главный рабочий инструмент: любой тупой угол сводится к острому. Например, cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3/2.

5. Основные тождества

sin²α + cos²α = 1 · tg α = sin αcos α · ctg α = cos αsin α · tg α · ctg α = 1

Три ловушки, на которых теряют баллы:
- забывают минус у косинуса тупого угла;
- из sin²α + cos²α = 1 берут оба знака корня, хотя четверть уже задана условием;
- пишут ctg 0° = 0, хотя котангенс там не существует.

Разобранные примеры

Пример 1. Значение по формуле приведения

Вычислить sin 135° и cos 135°.

Показать решение

1. Угол тупой, представляем его как 180° − 45°.

2. sin 135° = sin(180° − 45°) = sin 45° = √2/2.

3. cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2.

Ответ: √2/2 и −√2/2.

Синус остался положительным, косинус сменил знак — это и есть вся разница между острым и тупым углом.

Пример 2. Числовое выражение

Вычислить 2cos 180° + 4sin 90° − tg 45°.

Показать решение

1. По таблице: cos 180° = −1, sin 90° = 1, tg 45° = 1.

2. Подставляем: 2·(−1) + 4·1 − 1.

3. Считаем: −2 + 4 − 1 = 1.

Ответ: 1.

Типичная ошибка — потерять минус у cos 180° и получить 5.

Пример 3. Найти остальные функции по одной

Известно, что sin α = 0,8 и 90° < α < 180°. Найти cos α, tg α, ctg α.

Показать решение

1. Из sin²α + cos²α = 1: cos²α = 1 − 0,64 = 0,36, значит cos α = ±0,6.

2. Угол тупой, косинус там отрицателен, поэтому cos α = −0,6.

3. tg α = sin α / cos α = 0,8 / (−0,6) = −4/3.

4. ctg α = cos α / sin α = −0,6 / 0,8 = −0,75.

Ответ: cos α = −0,6; tg α = −4/3; ctg α = −0,75.

Знак выбирается по условию про угол, а не «как красивее». Без этого шага задача не решена.

Пример 4. Комбинированное выражение

Вычислить sin 150° · cos 180° − ctg 135° · tg 45°.

Показать решение

1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 0,5.

2. cos 180° = −1; ctg 135° = −ctg 45° = −1; tg 45° = 1.

3. Подставляем: 0,5·(−1) − (−1)·1 = −0,5 + 1.

4. Получаем 0,5.

Ответ: 0,5.

Минус на минус даёт плюс — здесь чаще всего и ошибаются, получая −1,5.

Шпаргалка

Этот блок печатается отдельно на один лист A4: Ctrl+P (⌘+P) → печать.

Определения: точка M(x; y) на верхней единичной полуокружности: sin α = y, cos α = x, tg α = y/x, ctg α = x/y.

Знаки: sin α ≥ 0 всегда. При 90° < α < 180°: cos, tg, ctg — отрицательные.
Не существуют: tg 90°, ctg 0°, ctg 180°.

Приведение: sin(180° − α) = sin α; cos(180° − α) = −cos α; tg(180° − α) = −tg α; ctg(180° − α) = −ctg α.

Тождества: sin²α + cos²α = 1; tg α = sin α/cos α; ctg α = cos α/sin α; tg α · ctg α = 1.

α	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sin	0	0,5	√2/2	√3/2	1	√3/2	√2/2	0,5	0
cos	1	√3/2	√2/2	0,5	0	−0,5	−√2/2	−√3/2	−1
tg	0	√3/3	1	√3	—	−√3	−1	−√3/3	0
ctg	—	√3	1	√3/3	0	−√3/3	−1	−√3	—

Порядок действий с тупым углом: 1) записать угол как 180° − острый; 2) применить формулу приведения; 3) взять значение острого угла из таблицы; 4) поставить знак.

Домашнее задание

Ответы вводи числом или выражением: 0,5 · -√3/2 · -4/3. Дробь можно писать через «/», корень — кнопкой √ над полем. Запятая и точка равнозначны.

Фото решений

Сфотографируй страницы тетради с решениями. Фото уменьшаются автоматически и попадают в отчёт.

Отчёт для преподавателя

Нажми кнопку — скачается один файл с твоими ответами, результатом и фото. Отправь его преподавателю в Instagram или Telegram.